3.3軌跡規(guī)劃樣條函數(shù)

按照使用的軌跡規(guī)劃樣條函數(shù)次數(shù)分類，可以將軌跡規(guī)劃樣條函數(shù)分為一次、二次、 三次、五次和多次。一次樣條函數(shù)軌跡規(guī)劃法又稱為速度常系數(shù)軌跡規(guī)劃法，該方法中 速度作為常數(shù)，位置是時(shí)間的的一次線性函數(shù)，當(dāng)速度突變時(shí)加速度無窮大，隨后加速 度變?yōu)榱?，由于理論上無窮大的加速突變會(huì)對(duì)系統(tǒng)造成很大沖擊，因此，在機(jī)器人的軌 跡規(guī)劃中，很少使用一次樣條函數(shù)。二次樣條函數(shù)軌跡規(guī)劃法又稱為常加速度軌跡規(guī)劃法。

    使用二次樣條函數(shù)得到的單段軌跡規(guī)劃擬合曲線如圖3-2所示，圖中假設(shè)始末速度 v。，Vl均為0,從圖中可以看出，由該方法得到的擬合曲線的加速度是常數(shù)，擬合曲線 相對(duì)于常速度軌跡規(guī)劃法有較大的改善，但存在加速度的跳躍現(xiàn)象，在加速度跳躍處， 加加速度無窮大，對(duì)于機(jī)器人的高速運(yùn)行仍會(huì)有較大影響，因此，二次樣條函數(shù)軌跡規(guī)劃法使用較少。

在三次樣條函數(shù)的軌跡規(guī)劃中，得到的擬合曲線的加速度是時(shí)間的一次函數(shù)，由于 三次樣條函數(shù)軌跡規(guī)劃法簡(jiǎn)單易懂、可控性好，因而被廣泛使用，三次樣條函數(shù)軌跡規(guī) 劃數(shù)學(xué)模型如式（3-2)所示。

使用三次樣條函數(shù)得到的單段軌跡規(guī)劃擬合曲線如圖3-3所示，圖(G)中假設(shè)始末 速度v。，&均為0，圖⑷中假設(shè)始末速度v。，k分別為10、5，從圖中可以看出由該方 法得到的擬合曲線的加速度是時(shí)間的一次函數(shù)，擬合曲線相對(duì)于常加速度軌跡規(guī)劃法有 較大改善。

利用三次樣條函數(shù)對(duì)通過多個(gè)空間關(guān)鍵點(diǎn)的多段軌跡進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)，需要根據(jù)空 間中的關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行分段，再對(duì)相鄰兩關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的軌跡規(guī)劃，為了使動(dòng)作連貫，軌跡規(guī)劃中需要對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)處的速度進(jìn)行賦值，從而，使機(jī)器人以一定的速度和加速度通過中間關(guān)鍵點(diǎn)。為了對(duì)這一類的含有多個(gè)空間關(guān)鍵點(diǎn)的多段運(yùn)動(dòng)的三次樣條函數(shù)軌跡規(guī) 劃曲線進(jìn)行說明，在空間中選取4個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到的擬合曲線如圖3-4所示，從圖中可 以看出，由三次樣條函數(shù)軌跡規(guī)劃法得到的位移擬合曲線連續(xù)可導(dǎo)，速度擬合曲線連續(xù) 但不可導(dǎo)，加速度擬合曲線出現(xiàn)跳躍，在加速度跳躍處加加速度無窮大，對(duì)于機(jī)器人的 高速運(yùn)行仍會(huì)有一些影響。

由以上分析可知，一次樣條函數(shù)中速度是常數(shù)，二次樣條函數(shù)中加速度是常數(shù)，三 次樣條函數(shù)中加加速度是常數(shù)，為了克服三次樣條函數(shù)軌跡規(guī)劃結(jié)果加速度不連續(xù)的缺 點(diǎn)，提高樣條函數(shù)的次數(shù)，使用五次樣條函數(shù)軌跡規(guī)劃法進(jìn)行軌跡規(guī)劃。

   知條件與單段三次樣條函數(shù)軌跡規(guī)劃己知條件相同。由該方法得到的 擬合曲線的加加速度的一階導(dǎo)數(shù)是時(shí)間的一次函數(shù)，加速度、加加速度擬合曲線均連續(xù) 可導(dǎo)，擬合曲線相對(duì)于三次樣條函數(shù)軌跡規(guī)劃法有較大的改善。

同三次樣條函數(shù)的多段軌跡規(guī)劃類似，五次樣條函數(shù)對(duì)通過多個(gè)空間關(guān)鍵點(diǎn)的多段 軌跡進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)，需要根據(jù)空間中的關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行分段，再對(duì)相鄰兩關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行 相應(yīng)的軌跡規(guī)劃，并且，在軌跡規(guī)劃過程中，需要對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)處的參數(shù)進(jìn)行賦值以使動(dòng)作 連貫，這樣機(jī)器人就會(huì)以一定的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)順利通過中間關(guān)鍵點(diǎn)。為了對(duì)這一類的含有 多個(gè)空間關(guān)鍵點(diǎn)的多段運(yùn)動(dòng)的五次樣條函數(shù)軌跡規(guī)劃擬合曲線進(jìn)行說明，同樣，在空間 中選取4個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，設(shè)置的己知參數(shù)與多段三次樣條函數(shù)軌跡規(guī)劃相同，得到的軌跡規(guī) 劃擬合曲線如圖3-6所示，從圖中可以看出，五次樣條函數(shù)得到的位移曲線連續(xù)可導(dǎo), 速度曲線連續(xù)但不可導(dǎo)，加速度曲線出現(xiàn)跳躍，在加速度跳躍處加加速度較大。

由以上可知，隨著樣條函數(shù)次數(shù)的提高，軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線的控制性能也不 斷提高，但比較遺憾的是并不是插值次數(shù)越高越好，在高次插值中會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，即 次數(shù)越高，在插值區(qū)間的邊界區(qū)域會(huì)出現(xiàn)插值函數(shù)與原函數(shù)誤差迅速增大、波動(dòng)增加的 現(xiàn)象，龍格現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致機(jī)器人軌跡規(guī)劃擬合曲線不精確、波動(dòng)，擬合性差以及能耗大等 一系列缺點(diǎn)。并且，樣條函數(shù)次數(shù)越高，現(xiàn)象越明顯，龍格現(xiàn)象如圖3-7所示，分別為 3、5、7、9、11、13次樣條函數(shù)擬合曲線，其中黑色曲線為原函數(shù)曲線，紅色曲線為插 值函數(shù)曲線。為了避免龍格現(xiàn)象，需要對(duì)樣條函數(shù)的插值點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整，采用切比雪夫零點(diǎn)插值可以避免龍格現(xiàn)象。

對(duì)多段運(yùn)動(dòng)的三次、五次樣條函數(shù)軌跡規(guī)劃擬合曲線進(jìn)行類比可知，利用該類方法 進(jìn)行多次樣條函數(shù)的軌跡規(guī)劃，得到的在關(guān)鍵點(diǎn)處的位移擬合曲線均連續(xù)可導(dǎo)、速度擬 合曲線均連續(xù)不可導(dǎo)，加速度等擬合曲線出現(xiàn)跳躍。在加速度跳躍處會(huì)出現(xiàn)驅(qū)動(dòng)力或力 矩的突變，突變的力或力矩作為激勵(lì)可能會(huì)引起機(jī)構(gòu)的震動(dòng)，甚至共振，即使對(duì)樣條函 數(shù)采用切比雪夫零點(diǎn)插值也會(huì)出現(xiàn)以上現(xiàn)象。為了解決上述問題，在下面的小節(jié)中，將 會(huì)采用新的軌跡規(guī)劃計(jì)算方法，使用五次樣條函數(shù)對(duì)機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃，以得到連續(xù) 可導(dǎo)的位移、速度、加速度甚至加加速度擬合曲線，并將動(dòng)力學(xué)加入到軌跡規(guī)劃中，當(dāng) 機(jī)器人的幾何實(shí)體確定后，這將會(huì)減小所需驅(qū)動(dòng)電機(jī)的力矩和功率或末端執(zhí)行器的作用 力，極大地提尚機(jī)器人的性能，對(duì)局速并聯(lián)機(jī)器人的控制具有極大實(shí)際意義。

本文采摘自“高速并聯(lián)工業(yè)機(jī)械手臂分析設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)”，因?yàn)榫庉嬂щy導(dǎo)致有些函數(shù)、表格、圖片、內(nèi)容無法顯示，有需要者可以在網(wǎng)絡(luò)中查找相關(guān)文章！本文由伯特利數(shù)控整理發(fā)表文章均來自網(wǎng)絡(luò)僅供學(xué)習(xí)參考，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明！